Actividad 3. Producto de un vector

1. Realiza el producto escalar o producto punto de los siguientes vectores.
u = (2,13), v = (3,6)
u= (6,2), v= (-5,-4)
Se define el producto escalar o producto punto de dos vectores u·v como sigue:
u·v = a1a2+b1b2

• u = (2,13), v=(3,6)

u·v = (2*3) + (13*6)
u·v = 6 + 78
El producto escalar es 84

• u = (6,2), v=(-5,-4)

u·v = (6*-5) + (2*-4)
u·v = -30 + -8
El producto escalar es -38

2. Calcula el ángulo que existe entre los vectores:
u = (2,5), v = (4,1)
u = (6,7), v = (-13, -4)
Para calcular el ángulo que existe entre los vectores se utiliza la fórmula:
cos𝛳 = (u ·v)/|u||v|

• u = (2,5), v = (4,1)

u = √(2^2+5^2 )= √(4+25)= √29
v = √(4^2+1^2 ) = √(16+1)= √17
u·v = (2)(4) + (1)(5)= 8 + 5 = 13
cos 𝛳 = 13/(√29  √17)=13/(√493)=  13/22.20 0.585
𝛳 = cos-1 (0.585) = 54.16°
El ángulo que existe entre los vectores es de 54.16°

• u = (6, 7) v = (-13, -4)

u = √(6^2+) 7^2= √(36+49)= √85
v = √(〖-13〗^2+(〖-4)〗^2 )= √(169+16)= √185
u·v = 6(-13) + (7)(-4) = 78 +28 = -106
cos 𝛳 = (-106)/(√(85 ) √185)=  (-106)/√15725=  (-106)/125.399= -0.845
𝛳 = cos-1(-0.845) = 147.67°
El ángulo que existe entre los vectores es de 147.67°
3. Determina si son o no son paralelos entre sí los siguientes pares de vectores:
u = (12,3), v = (8,3)
u = (6,8), v = (-3,-4)
Dos vectores son paralelos si el ángulo que existe entre ellos es 0 o π
Primero se encuentra el producto escalar,

• u = (12,3), v = (8,3)

u = 96 + 9 = 105
cos 𝛳= 105/(〖√12〗^2+3^2  √(8^2 )+3^2 )=105/(√153 √73)=105/(√11,169)=  105/105.68=0.99
Los vectores no son paralelos

• u = (6,8), v = (-3,-4)

En este caso podemos encontrar un vector escalar entre el vector u y v por lo tanto son vectores paralelos

4. Determina si los siguientes vectores son perpendiculares:
u = (6,2), v = (3,9)
u·v = (6,2)(3,9)
𝑢∙𝑣 = 18 + 18 = 36
cos𝛳 = 36/√(6^2+2^2 √(3^2+9^2 )) =36/(√(36+4 ) √(9+81))=36/(√40 √90)=36/√3600 =36/60=0.6
Los vectores no son perpendiculares

5. Realiza el producto cruz o producto vectorial :
u = (2,6,7), v = (4,2,1)
Se va a usar la fórmula 𝑢 × 𝑣 = (𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1) + (𝑎2𝑐1 − 𝑎1𝑐2) + (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1), siendo
u= (2a1,6b1,7c1), v= (4a2,2b2,1c2)
u * v = [(6*1 – 2*7) + (4*7 – 2*1) + (2*2 – 4*6)
u * v = (6 – 14) + (28-2) + (4-24)
u * v = -8, 26, -20